反函数例题及答案：反函数例题及答案详解

求反函数

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求函数 ( f(x) = 2x + 3 ) 的反函数。

解答：
设 ( y = 2x + 3 )，则
( y - 3 = 2x )，
( x = \frac{y - 3}{2} )。
交换 ( x ) 和 ( y )，得到反函数：
( y = \frac{x - 3}{2} )。
反函数为 ( f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} )。

复合函数的反函数

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已知 ( f(x) = x^2 )（定义域为 ( x \geq 0 )），求 ( f(f^{-1}(x)) ) 的反函数。

解答：
求 ( f(x) = x^2 ) 的反函数。
设 ( y = x^2 )，则 ( x = \sqrt{y} )（因为定义域 ( x \geq 0 )），
交换 ( x ) 和 ( y )，得到反函数：
( f^{-1}(x) = \sqrt{x} )。
( f(f^{-1}(x)) = f(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^2 = x )，
而 ( f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(x^2) = \sqrt{x^2} = x )（因为 ( x \geq 0 )）。
反函数为 ( f^{-1}(x) = \sqrt{x} )。

反函数与图像对称

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函数 ( f(x) = \frac{1}{x} )（定义域 ( x \neq 0 )），求其反函数并说明图像对称性。

解答：
设 ( y = \frac{1}{x} )，则 ( x = \frac{1}{y} )，
交换 ( x ) 和 ( y )，得到反函数：
( y = \frac{1}{x} )，即 ( f^{-1}(x) = \frac{1}{x} )。
反函数与原函数相同，图像关于直线 ( y = x ) 对称。

反函数的求解步骤一般为：

1. 设 ( y = f(x) )；
2. 解出 ( x ) ( y ) 的表达式；
3. 交换 ( x ) 和 ( y )，得到反函数 ( f^{-1}(x) )；
4. 确定定义域和值域,确保函数一一对应。

通过以上例题可以看出,反函数的求解需要熟练掌握函数的表达式变换和定义域限制，掌握这些方法，可以更好地理解和应用反函数的概念。