黎曼函数的极限：黎曼函数的极限，一个反直觉的数学探索

来源：网络作者：日期：2025-11-01 08:44:48

在数学分析中，黎曼函数（Riemann function）是一个经典的例子，它不仅挑战了人们对连续函数的直观理解，还深刻揭示了黎曼积分的本质，本文将围绕“黎曼函数的极限”这一关键词，探讨其定义、性质以及极限行为,揭示其在数学分析中的独特地位。

黎曼函数的定义

黎曼函数 ( R(x) ) 定义如下：

[ R(x) = \begin{cases} 0 & \text{} x \in \mathbb{Q}^c \text{（无理数）} \ \frac{1}{q} & \text{} x = \frac{p}{q} \in \mathbb{Q} \text{（有理数，且 } p, q \text{ 互质，} q > 0\text{）} \end{cases} ]

这个函数在有理点处取值为 ( \frac{1}{q} )，而在无理点处取值为 0，它的定义看似简单,但其性质却极为复杂。

黎曼函数的极限：黎曼函数的极限，一个反直觉的数学探索

黎曼函数的极限行为

黎曼函数的极限行为是其最引人注目的特点之一,我们考虑以下两种情况：

当 ( x ) 趋近于一个无理数时：

设 ( c ) 为一个无理数，对于任意 ( \epsilon > 0 )，存在一个邻域 ( (c - \delta, c + \delta) )，使得当 ( |x - c| < \delta ) 时，( |R(x) - R(c)| < \epsilon )，由于 ( R(c) = 0 )（因为 ( c ) 是无理数），我们需要证明 ( R(x) ) 在 ( x \to c ) 时趋近于 0。

证明：对于任意 ( \epsilon > 0 )，取 ( \delta = \epsilon )，在区间 ( (c - \epsilon, c + \epsilon) ) 内，所有有理数 ( \frac{p}{q} ) 满足 ( \frac{1}{q} < \epsilon )，即 ( q > \frac{1}{\epsilon} )，对于任意 ( x \in (c - \epsilon, c + \epsilon) )，( x ) 是无理数，则 ( R(x) = 0 )，显然 ( |R(x) - 0| < \epsilon )；( x ) 是有理数，则 ( R(x) = \frac{1}{q} < \epsilon )。( \lim_{x \to c} R(x) = 0 )。
当 ( x ) 趋近于一个有理数时：

设 ( c = \frac{p}{q} ) 为一个有理数（( p, q ) 互质，( q > 0 )）。( R(c) = \frac{1}{q} )，我们需要考察 ( x \to c ) 时 ( R(x) ) 的极限。

情况变得复杂，考虑 ( c = \frac{1}{2} )，则 ( R\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} )，但在 ( x ) 趋近于 ( \frac{1}{2} ) 时，( R(x) ) 的值会取到任意小的正数，因为存在分母很大的有理数趋近于 ( \frac{1}{2} )，对于任意 ( \delta > 0 )，在 ( (c - \delta, c + \delta) ) 内，存在有理数 ( \frac{p}{q} ) 使得 ( R\left(\frac{p}{q}\right) = \frac{1}{q} ) 可以任意小，同时也存在有理数使得 ( R(x) ) 接近 ( \frac{1}{q} )。( \lim_{x \to c} R(x) ) 不存在。

更一般地，对于任意有理数 ( c = \frac{p}{q} )，在 ( x \to c ) 时，( R(x) ) 会取到所有小于等于 ( \frac{1}{q} ) 的值，且在无理点处取 0,极限不存在。