反三角函数积分公式：反三角函数积分公式全解析

反三角函数的定义

反三角函数主要包括以下三种：

1. 反正弦函数（arcsin）：若 sin(y) = x，则 y = arcsin(x)，定义域为 [-1, 1]，值域为 [-π/2, π/2]。
2. 反余弦函数（arccos）：若 cos(y) = x，则 y = arccos(x)，定义域为 [-1, 1]，值域为 [0, π]。
3. 反正切函数（arctan）：若 tan(y) = x，则 y = arctan(x)，定义域为全体实数，值域为 (-π/2, π/2)。

反三角函数的积分公式

以下是反三角函数的基本积分公式：

反正弦函数的积分

[ \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C ]

反余弦函数的积分

[ \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = -\arccos\left(\frac{x}{a}\right) + C ]

反正切函数的积分

[ \int \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan(x) + C ]

积分公式的推导

反正弦函数积分公式的推导

设 ( y = \arcsin(x) )，则 ( x = \sin(y) )，两边对 ( x ) 求导：

[ \frac{dx}{dy} = \cos(y) \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos(y)} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2(y)}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} ]

[ \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \arcsin(x) + C ]

推广到一般形式：

[ \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C ]

反余弦函数积分公式的推导

设 ( y = \arccos(x) )，则 ( x = \cos(y) )，两边对 ( x ) 求导：

[ \frac{dx}{dy} = -\sin(y) \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin(y)} = -\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2(y)}} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} ]

[ \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = -\arccos(x) + C ]

反正切函数积分公式的推导

设 ( y = \arctan(x) )，则 ( x = \tan(y) )，两边对 ( x ) 求导：

[ \frac{dx}{dy} = \sec^2(y) = 1 + \tan^2(y) = 1 + x^2 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2} ]

[ \int \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan(x) + C ]

典型例题解析

例题 1：求 ( \int \frac{2}{\sqrt{4 - x^2}} dx )

解：

[ \int \frac{2}{\sqrt{4 - x^2}} dx = 2 \int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx = 2 \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + C ]

例题 2：求 ( \int \frac{1}{\sqrt{1 - 9x^2}} dx )

解：

[ \int \frac{1}{\sqrt{1 - 9x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{1 - (3x)^2}} dx ]

令 ( u = 3x )，则 ( du = 3 dx )，( dx = \frac{1}{3} du )：

[ \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \arcsin(u) + C = \frac{1}{3} \arcsin(3x) + C ]

例题 3：求 ( \int \frac{1}{1 + 4x^2} dx )

解：

[ \int \frac{1}{1 + 4x^2} dx = \int \frac{1}{1 + (2x)^2} dx ]

令 ( u = 2x )，则 ( du = 2 dx )，( dx = \frac{1}{2} du )：

[ \int \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \arctan(u) + C = \frac{1}{2} \arctan(2x) + C ]

常见题型总结

1. 直接应用积分公式：直接套用反三角函数的积分公式。
2. 变量代换：通过变量代换将积分转化为标准形式。
3. 分部积分：在某些复杂情况下,可能需要结合分部积分法。
4. 三角恒等式：利用三角恒等式简化被积函数。

注意事项

1. 积分上下限：在定积分中,需注意积分上下限的对应关系。
2. 定义域：反三角函数的定义域需严格遵守,避免积分结果错误。
3. 常数因子：积分公式中的常数因子需正确处理。