y 2x 1的反函数是什么：y=2x+1的反函数是什么？求解步骤详解

什么是反函数？

反函数是指一个函数的逆运算，如果函数 ( f ) 将元素 ( x ) 映射到 ( y )，那么它的反函数 ( f^{-1} ) 将 ( y ) 映射回 ( x )，反函数的定义要求原函数必须是一一映射（即单调函数）,这样才能保证反函数存在。

求解 ( y = 2x + 1 ) 的反函数

给定函数：
[ y = 2x + 1 ]

交换 ( x ) 和 ( y )

将方程中的 ( x ) 和 ( y ) 互换：
[ x = 2y + 1 ]

解出 ( y )

将方程中的 ( y ) 解出：
[ x = 2y + 1 ]
[ x - 1 = 2y ]
[ y = \frac{x - 1}{2} ]

确定反函数

将 ( y ) 替换为 ( f^{-1}(x) )，得到反函数：
[ f^{-1}(x) = \frac{x - 1}{2} ]

验证反函数

为了验证反函数的正确性，我们可以将原函数和反函数进行复合运算,看是否得到恒等函数。

• 将 ( f^{-1}(x) ) 代入原函数 ( f(x) )：
  [ f(f^{-1}(x)) = f\left( \frac{x - 1}{2} \right) = 2 \cdot \frac{x - 1}{2} + 1 = x - 1 + 1 = x ]

• 将原函数 ( f(x) ) 代入反函数 ( f^{-1}(x) )：
  [ f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(2x + 1) = \frac{(2x + 1) - 1}{2} = \frac{2x}{2} = x ]

验证通过,反函数正确。

反函数的定义域和值域

原函数 ( y = 2x + 1 ) 的定义域为全体实数 ( \mathbb{R} )，值域也为全体实数 ( \mathbb{R} )。
反函数 ( f^{-1}(x) = \frac{x - 1}{2} ) 的定义域为全体实数 ( \mathbb{R} )，值域也为全体实数 ( \mathbb{R} )。

通过以上步骤，我们求得了函数 ( y = 2x + 1 ) 的反函数：
[ f^{-1}(x) = \frac{x - 1}{2} ]

反函数的求解是数学中函数部分的重要内容,掌握这一方法有助于解决更复杂的数学问题。