parseval等式：Parseval等式，从傅里叶级数到信号处理的桥梁

在数学、信号处理和物理学等领域，Parseval等式（或Parseval定理）是一个非常基础且重要的概念，它本质上描述了信号或函数在时域和频域中能量的守恒关系，一个信号在时域中所有时刻的能量,等于它在频域中所有频率分量的能量之和。

起源：傅里叶级数

Parseval等式的概念最早可以追溯到1807年，由法国数学家Augustin-Louis Cauchy提出，后来由法国物理学家 Marc-Antoine Parseval在1809年推广到傅里叶级数的背景下，傅里叶级数将一个周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的加权和，Parseval等式则表明，原函数的平方的平均值（时域能量）等于其傅里叶系数的平方和的平均值（频域能量）。

对于一个周期为 (2\pi) 的函数 (f(x)),其傅里叶级数为：

[f(x) = \frac{a0}{2} + \sum{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right)]

傅里叶系数为：

[a0 = \frac{1}{\pi} \int{-\pi}^{\pi} f(x) dx, \quad an = \frac{1}{\pi} \int{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx, \quad bn = \frac{1}{\pi} \int{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx]

Parseval等式（针对周期为 (2\pi) 的情况）可以表述为：

[\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} [f(x)]^2 dx = \frac{a0^2}{2} + \frac{1}{2} \sum{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2)]

这个等式说明了函数 (f(x)) 在区间 ([-π, π]) 上的能量（左边）等于其傅里叶系数所代表的各频率分量的能量之和（右边）。

推广：泛函分析

Parseval等式的思想可以推广到更一般的内积空间，特别是希尔伯特空间，在泛函分析中，Parseval等式描述了希尔伯特空间中，一个元素（可以是函数、序列等）与其标准正交基展开系数之间的关系。

如果一个希尔伯特空间 (H) 具有一个标准正交基 ({en}{n=1}^{\infty})，那么对于任意元素 (x \in H)，其在基下的系数为 (c_n = \langle x, e_n \rangle),Parseval等式表明：

[|x|^2 = \langle x, x \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} |\langle x, e_n \rangle|^2]

这里，(|x|^2) 是元素 (x) 的范数的平方，也就是其能量,这个等式说明了元素的能量等于其在标准正交基下的系数的平方的和。

应用：信号处理

Parseval等式在数字信号处理（DSP）中扮演着核心角色，在信号处理中，我们经常将信号从时域转换到频域进行分析（通过傅里叶变换或傅里叶级数）,Parseval等式保证了这种转换过程中信号的总能量是守恒的。

• 能量信号： 对于一个能量有限的信号（即 (\int{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt < \infty)），其傅里叶变换 (X(f)) 的Parseval定理（也称为能量谱密度定理）表明： [\int{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} |X(f)|^2 df] 这意味着信号在时域中的总能量等于其频谱在频域中的总能量，这使得我们可以通过分析频域特性来了解信号在时域的“能量分布”。

• 功率信号： 对于功率有限的周期信号，我们通常使用相关函数和功率谱密度，其原理也与Parseval等式的思想一致,即信号的平均功率在时域和频域是相等的。

Parseval等式是一个深刻而实用的数学原理，它从傅里叶级数的背景下诞生，被推广到泛函分析的框架，最终在信号处理等众多领域找到了广泛的应用，它不仅揭示了时域和频域能量的等价性，也为我们在不同域中分析和处理信号提供了理论基础,是理解信号本质和进行有效信号处理不可或缺的工具。