对数函数求导数公式：对数函数的求导数公式及其应用

自然对数函数的求导公式

自然对数函数 ( y = \ln x ) 的导数公式为：

[ \frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x} ]

这一公式是通过极限定义推导得出的，设 ( y = \ln x )，则 ( x = e^y )，对等式两边同时求导,得到：

[ 1 = e^y \cdot \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x} ]

自然对数函数的导数公式为 ( \frac{1}{x} )。

常用对数函数的求导公式

常用对数函数 ( y = \log_{10} x ) 的导数公式为：

[ \frac{d}{dx} (\log_{10} x) = \frac{1}{x \ln 10} ]

这一公式可以通过换底公式推导得出,换底公式为：

[ \log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10} ]

[ \frac{d}{dx} (\log_{10} x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln x}{\ln 10} \right) = \frac{1}{\ln 10} \cdot \frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{\ln 10} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln 10} ]

复合对数函数的求导公式

在实际应用中，对数函数往往与复合函数结合出现，对于函数 ( y = \ln (u(x)) ),其导数可以通过链式法则求解：

[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x) ]

同样，对于常用对数函数 ( y = \log_{10} (u(x)) ),其导数为：

[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u(x) \ln 10} \cdot u'(x) ]

应用示例

求 ( y = \ln (3x^2 + 2) ) 的导数

设 ( u = 3x^2 + 2 )，则 ( y = \ln u )。
根据链式法则：

[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{3x^2 + 2} \cdot 6x = \frac{6x}{3x^2 + 2} ]

求 ( y = \log_{10} (e^x) ) 的导数

设 ( u = e^x )，则 ( y = \log_{10} u )。
根据链式法则：

[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u \ln 10} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{e^x \ln 10} \cdot e^x = \frac{1}{\ln 10} ]

对数函数的求导公式是微积分中的基础内容，掌握自然对数和常用对数的求导公式，以及复合对数函数的求导方法，对于解决实际问题具有重要意义，通过本文的推导和示例,读者可以更好地理解和应用对数函数的求导公式。