复合函数定义域的求法：复合函数定义域的求法

复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数,其定义域是使复合函数有意义的所有自变量的取值范围，复合函数的定义域不仅取决于外层函数，还受到内层函数定义域的限制，正确求解复合函数的定义域是理解和应用复合函数的关键。

复合函数的定义

设函数 ( y = f(u) ) 和 ( u = g(x) ) 的定义域分别为 ( D_f ) 和 ( D_g )，( g(x) ) 的值域包含于 ( D_f )，则可以构成复合函数 ( y = f(g(x)) )，( x ) 称为自变量，( u ) 称为中间变量。

复合函数定义域的求法

求解复合函数 ( y = f(g(x)) ) 的定义域，需要同时满足以下两个条件：

1. 内层函数的定义域：( x ) 必须属于内层函数 ( u = g(x) ) 的定义域 ( D_g )。
2. 外层函数的定义域：( g(x) ) 的值必须属于外层函数 ( y = f(u) ) 的定义域 ( D_f )，即 ( g(x) \in D_f )。

复合函数 ( y = f(g(x)) ) 的定义域为：

[ D = { x \mid x \in D_g \text{ 且 } g(x) \in D_f } ]

求解步骤

1. 确定内层函数的定义域：找出 ( u = g(x) ) 的定义域 ( D_g )。
2. 确定外层函数的定义域：找出 ( y = f(u) ) 的定义域 ( D_f )。
3. 求解复合函数的定义域：解不等式 ( g(x) \in D_f )，并结合 ( x \in D_g )，得到复合函数的定义域。

典型例题

例题1：求 ( f(g(x)) ) 的定义域，( f(u) = \sqrt{u-1} )，( g(x) = x^2 - 2 )。

解：

1. 内层函数 ( g(x) = x^2 - 2 ) 的定义域为 ( D_g = \mathbb{R} )。
2. 外层函数 ( f(u) = \sqrt{u-1} ) 的定义域为 ( D_f = { u \mid u \geq 1 } )。
3. 由 ( g(x) \in D_f ) 得 ( x^2 - 2 \geq 1 )，即 ( x^2 \geq 3 )，( x \leq -\sqrt{3} ) 或 ( x \geq \sqrt{3} )。
4. 结合 ( x \in D_g )（即 ( x \in \mathbb{R} )），复合函数的定义域为 ( (-\infty, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, +\infty) )。

例题2：求 ( f(g(x)) ) 的定义域，( f(u) = \ln(u) )，( g(x) = x^2 - 4 )。

解：

1. 内层函数 ( g(x) = x^2 - 4 ) 的定义域为 ( D_g = \mathbb{R} )。
2. 外层函数 ( f(u) = \ln(u) ) 的定义域为 ( D_f = { u \mid u > 0 } )。
3. 由 ( g(x) \in D_f ) 得 ( x^2 - 4 > 0 )，即 ( x < -2 ) 或 ( x > 2 )。
4. 复合函数的定义域为 ( (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) )。

注意事项

1. 分段函数：如果内层或外层函数是分段函数，需要分别讨论各段的定义域。
2. 多层复合：对于多层复合函数，应从内到外逐层求解定义域。
3. 定义域的交集：复合函数的定义域是内层函数定义域与满足外层函数定义域条件的 ( x ) 的交集。

复合函数的定义域是求解复合函数问题的基础,掌握其求解方法对于理解复合函数的性质和应用至关重要，通过以上步骤和例题，可以系统地掌握复合函数定义域的求解方法，提高解题能力。