完整的三角函数公式：全面掌握三角函数，一份完整的公式总结

三角函数是数学中一个基础且重要的分支,广泛应用于几何、物理、工程、统计学等多个领域，掌握三角函数的公式体系是理解和运用其核心的关键，本文旨在提供一份尽可能全面的三角函数公式总结，涵盖定义、诱导公式、同角关系、和差角、倍角、半角、和差化积、积化和差等主要类别，帮助学习者系统地记忆和应用。

基本定义与单位圆

在直角三角形中,对于锐角 θ：

• 正弦 (Sine)： sin θ = 对边 / 斜边
• 余弦 (Cosine)： cos θ = 邻边 / 斜边
• 正切 (Tangent)： tan θ = 对边 / 邻边 = sin θ / cos θ

在单位圆（半径为 1 的圆）中，角度 θ（通常用弧度制）：

• sin θ = y 坐标
• cos θ = x 坐标
• tan θ = y / x

诱导公式

诱导公式揭示了角度与 π/2、π、3π/2、2π 等特殊角的倍数关系时，三角函数值的变化规律，核心在于“奇变偶不变，符号看象限”。

• 角度加减 2kπ (k 为整数)： 函数值不变。
  • sin(θ + 2kπ) = sin θ
  • cos(θ + 2kπ) = cos θ
  • tan(θ + 2kπ) = tan θ
• 角度加减 π：
  • sin(θ + π) = -sin θ
  • cos(θ + π) = -cos θ
  • tan(θ + π) = tan θ
• 角度加减 π/2：
  • sin(θ + π/2) = cos θ
  • sin(θ - π/2) = -cos θ
  • cos(θ + π/2) = -sin θ
  • cos(θ - π/2) = sin θ
  • tan(θ + π/2) = -cot θ
  • tan(θ - π/2) = cot θ
• 角度加减 3π/2： 可以通过加减 π/2 和 π 来推导。
• 负角公式：
  • sin(-θ) = -sin θ
  • cos(-θ) = cos θ
  • tan(-θ) = -tan θ

同角三角函数关系式

这些公式表达了同一个角的正弦、余弦、正切等函数值之间的关系。

• 平方关系：
  • sin²θ + cos²θ = 1
  • 1 + tan²θ = sec²θ (sec θ = 1 / cos θ)
  • 1 + cot²θ = csc²θ (csc θ = 1 / sin θ)
• 倒数关系：
  • sin θ * csc θ = 1
  • cos θ * sec θ = 1
  • tan θ * cot θ = 1
• 商数关系：
  • tan θ = sin θ / cos θ
  • cot θ = cos θ / sin θ

和角与差角公式

这些公式用于计算两个角的和或差的正弦、余弦、正切。

• 和角公式：
  • sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
  • cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
  • tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β) (当 cos(α+β) ≠ 0 时)
• 差角公式：
  • sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
  • cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
  • tan(α - β) = (tan α - tan β) / (1 + tan α tan β) (当 cos(α-β) ≠ 0 时)

倍角公式

倍角公式是和角公式的特例,令 β = α。

• 二倍角公式：
  • sin(2θ) = 2 sin θ cos θ
  • cos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ
  • tan(2θ) = 2 tan θ / (1 - tan²θ) (当 cos(2θ) ≠ 0 且 1 - tan²θ ≠ 0 时)
• 三倍角公式：
  • sin(3θ) = 3 sin θ - 4 sin³θ
  • cos(3θ) = 4 cos³θ - 3 cos θ

半角公式

半角公式用于计算某个角的一半的三角函数值。

• 正弦半角：

  sin(θ/2) = ±√((1 - cos θ) / 2)

• 余弦半角：

  cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ) / 2)

• 正切半角：

  tan(θ/2) = sin θ / (1 + cos θ) = (1 - cos θ) / sin θ = ±√((1 - cos θ) / (1 + cos θ))

符号的选择取决于 θ/2 所在的象限。

和差化积公式

将两个角的和或差的三角函数形式转换为乘积形式。

• 正弦和化积：
  • sin α + sin β = 2 sin((α+β)/2) cos((α-β)/2)
  • sin α - sin β = 2 cos((α+β)/2) sin((α-β)/2)
• 余弦和化积：
  • cos α + cos β = 2 cos((α+β)/2) cos((α-β)/2)
  • cos α - cos β = -2 sin((α+β)/2) sin((α-β)/2)
• 正弦差化积： (与上面 sin α - sin β 类似)
• 余弦差化积： (与上面 cos α - cos β 类似)

积化和差公式

将两个角的三角函数乘积转换为和或差的形式。

• 通用积化和差：
  • sin α cos β = (1/2) [sin(α+β) + sin(α-β)]
  • cos α sin β = (1/2) [sin(α+β) - sin(α-β)]
  • cos α cos β = (1/2) [cos(α+β) + cos(α-β)]
  • sin α sin β = (1/2) [cos(α-β) - cos(α+β)]

万能公式

利用正切函数将所有三角函数用 tan(θ/2) 表示。

• 设 t = tan(θ/2)
• 正弦：

  sin θ = 2t / (1 + t²)

• 余弦：

  cos θ = (1 - t²) / (1 + t²)

• 正切：

  tan θ = 2t / (1 - t²)

总结与提示：

这份公式列表旨在提供一个全面的参考,理解和记忆这些公式的关键在于：

1. 理解推导： 了解每个公式的来源和几何意义，例如和角公式可以通过单位圆或向量推导。
2. 联系记忆： 将相关公式联系起来记忆，例如平方关系、倒数关系、倍角公式与和角公式的联系。
3. 多练习： 通过大量的练习题来熟悉和应用这些公式。
4. 注意细节： 特别是符号、定义域和限制条件（如分母不能为零、根号下的正负号、象限角等）。
5. 灵活运用： 根据问题选择最合适的公式进行求解。

掌握这些公式,将为学习更高级的数学内容（如微积分、微分方程）以及解决实际问题打下坚实的基础。