反三角函数必背公式：反三角函数必背公式全解析

反正弦函数（arcsin）

定义：若 (\sin y = x)，则 (y = \arcsin x)，(x \in [-1, 1])，(y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right])。

公式： [ \arcsin x = \theta \quad \text{满足} \quad \sin \theta = x, \quad \theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] ]

常用公式： [ \sin(\arcsin x) = x ] [ \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2} ] [ \tan(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} ]

反余弦函数（arccos）

定义：若 (\cos y = x)，则 (y = \arccos x)，(x \in [-1, 1])，(y \in [0, \pi])。

公式： [ \arccos x = \theta \quad \text{满足} \quad \cos \theta = x, \quad \theta \in [0, \pi] ]

常用公式： [ \cos(\arccos x) = x ] [ \sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2} ] [ \tan(\arccos x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} ]

反正切函数（arctan）

定义：若 (\tan y = x)，则 (y = \arctan x)，(x \in \mathbb{R})，(y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right))。

公式： [ \arctan x = \theta \quad \text{满足} \quad \tan \theta = x, \quad \theta \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) ]

常用公式： [ \tan(\arctan x) = x ] [ \sin(\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} ] [ \cos(\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} ]

反余切函数（arccot）

定义：若 (\cot y = x)，则 (y = \arccot x)，(x \in \mathbb{R})，(y \in (0, \pi))。

公式： [ \arccot x = \theta \quad \text{满足} \quad \cot \theta = x, \quad \theta \in (0, \pi) ]

常用公式： [ \cot(\arccot x) = x ] [ \tan(\arccot x) = \frac{1}{x} ] [ \sin(\arccot x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} ] [ \cos(\arccot x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} ]

反正割函数（arcsec）

定义：若 (\sec y = x)，则 (y = \text{arcsec } x)，(x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty))，(y \in [0, \pi] \setminus \left{\frac{\pi}{2}\right})。

公式： [ \text{arcsec } x = \theta \quad \text{满足} \quad \sec \theta = x, \quad \theta \in [0, \pi] \setminus \left{\frac{\pi}{2}\right} ]

常用公式： [ \sec(\text{arcsec } x) = x ] [ \cos(\text{arcsec } x) = \frac{1}{x} ] [ \sin(\text{arcsec } x) = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x} ] [ \tan(\text{arcsec } x) = \sqrt{x^2 - 1} ]

反余割函数（arccsc）

定义：若 (\csc y = x)，则 (y = \text{arccsc } x)，(x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty))，(y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \setminus {0})。

公式： [ \text{arccsc } x = \theta \quad \text{满足} \quad \csc \theta = x, \quad \theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \setminus {0} ]

常用公式： [ \csc(\text{arccsc } x) = x ] [ \sin(\text{arccsc } x) = \frac{1}{x} ] [ \cos(\text{arccsc } x) = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x} ] [ \tan(\text{arccsc } x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} ]

六个反三角函数之间的关系

反三角函数之间存在密切的联系,

[ \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} ]

[ \arctan x + \arccot x = \frac{\pi}{2} ]

[ \arcsin x + \arccsc x = \frac{\pi}{2} ]

[ \arccos x + \text{arcsec } x = \frac{\pi}{2} ]

这些关系在解题时非常有用,可以帮助简化计算。

常见复合函数变形

1. (\arcsin x + \arcsin y)： [ \arcsin x + \arcsin y = \arcsin \left( x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2} \right) \quad \text{（当 } xy \geq -1 \text{ 且 } x,y \in [-1,1]\text{）} ]

2. (\arccos x + \arccos y)： [ \arccos x + \arccos y = \arccos \left( xy - \sqrt{(1-x^2)(1-y^2)} \right) \quad \text{（当 } x,y \in [-1,1]\text{）} ]

3. (\arctan x + \arctan y)： [ \arctan x + \arctan y = \arctan \left( \frac{x+y}{1-xy} \right) \quad \text{（当 } xy < 1\text{）} ]

学习建议

1. 理解定义：反三角函数的定义域和值域是记忆公式的基础。
2. 结合图像：通过单位圆或三角形图像辅助理解反三角函数的几何意义。
3. 多做练习：通过大量练习题巩固公式，尤其是复合函数和反三角函数的导数问题。
4. 记忆技巧：利用三角恒等式和反三角函数之间的关系，帮助记忆公式。