高数三角函数公式大全表格：高数三角函数公式大全表格

三角函数的定义

在直角三角形中,三角函数的定义如下：

• 正弦（sin）：对边 / 斜边
• 余弦（cos）：邻边 / 斜边
• 正切（tan）：对边 / 邻边

在单位圆中,三角函数的定义为：

• sinθ = y
• cosθ = x
• tanθ = y/x

θ 为角度。

诱导公式

诱导公式用于将任意角的三角函数转化为锐角三角函数。

（注：诱导公式的完整形式较为复杂,建议结合单位圆记忆）

同角三角函数关系

同角三角函数之间存在以下基本关系：

1. 平方关系：
   [ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 ] [ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta ] [ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta ]

2. 倍角关系：
   [ \sin 2\theta = 2 \sin\theta \cos\theta ] [ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta ] [ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} ]

和差角公式

和差角公式用于计算两个角的和或差的三角函数值：

[ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta ]

[ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta ]

[ \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha \tan\beta} ]

三倍角公式

[ \sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta ]

[ \cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta ]

[ \tan 3\theta = \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta} ]

半角公式

[ \sin\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} ]

[ \cos\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} ]

[ \tan\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} ]

万能公式

万能公式将三角函数转化为正切函数的一半角形式：

[ \sin\theta = \frac{2\tan(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2)} ]

[ \cos\theta = \frac{1 - \tan^2(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2)} ]

[ \tan\theta = \frac{2\tan(\theta/2)}{1 - \tan^2(\theta/2)} ]

积化和差与和差化积

1. 积化和差：
   [ \sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2} [\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)] ]

2. 和差化积：
   [ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} ]

常用恒等式

1. (\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1)
2. (\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta})
3. (\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta})
4. (\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta})
5. (\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta})