函数单调性的题型和解题方法，函数单调性解题技巧

来源：网络作者：日期：2025-12-03 18:23:09

函数单调性的题型与解题方法完全解析

函数的单调性是函数的重要性质之一,也是高中数学中的重点内容，掌握函数单调性的判断方法，对于解决与函数相关的问题具有重要意义，本文将从函数单调性的定义出发，结合常见题型，介绍几种常用的解题方法。

函数单调性的定义

函数 ( f(x) ) 在区间 ( I ) 上单调递增（或单调递减），如果对于任意 ( x_1, x_2 \in I )，若 ( x_1 < x_2 )，则 ( f(x_1) \leq f(x_2) )（或 ( f(x_1) \geq f(x_2) )），如果函数在某个区间上单调递增或单调递减，则称该函数在该区间上具有单调性。

常见题型与解题方法

判断函数的单调性

方法：

定义法：取两点，比较函数值大小。
导数法：若函数可导，则 ( f'(x) > 0 ) 时函数单调递增，( f'(x) < 0 ) 时函数单调递减。

例题：
判断函数 ( f(x) = x^2 ) 在区间 ( [1, +\infty) ) 上的单调性。

解法：

使用导数法：( f'(x) = 2x )，当 ( x > 0 ) 时，( f'(x) > 0 )，故函数在 ( [1, +\infty) ) 上单调递增。

求函数的单调区间

方法：

求函数的导数 ( f'(x) )。
解不等式 ( f'(x) > 0 ) 和 ( f'(x) < 0 )。
结合定义域,确定单调区间。

例题：
求函数 ( f(x) = x^3 - 3x ) 的单调区间。

解法：

求导：( f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) )。
令 ( f'(x) = 0 )，得 ( x = \pm 1 )。
列表分析：
- 当 ( x < -1 ) 时，( f'(x) > 0 )，函数单调递增；
- 当 ( -1 < x < 1 ) 时，( f'(x) < 0 )，函数单调递减；
- 当 ( x > 1 ) 时，( f'(x) > 0 )，函数单调递增。
单调递增区间：( (-\infty, -1) ) 和 ( (1, +\infty) )；
单调递减区间：( (-1, 1) )。

利用单调性比较函数值大小

方法：
若函数在区间 ( I ) 上单调递增，则 ( x_1 < x_2 ) 时 ( f(x_1) < f(x_2) )；若单调递减，则 ( x_1 < x_2 ) 时 ( f(x_1) > f(x_2) )。

例题：
已知函数 ( f(x) ) 在 ( [a, b] ) 上单调递增，且 ( a < c < d < b )，比较 ( f(c) ) 与 ( f(d) ) 的大小。

解法：
由于 ( f(x) ) 在 ( [a, b] ) 上单调递增，且 ( c < d )，( f(c) < f(d) )。

单调性与不等式的结合

方法：
利用函数的单调性，将不等式转化为函数值的比较。

例题：
若 ( f(x) ) 是单调递增函数，且 ( f(2) = 3 )，求 ( f(1) ) 和 ( f(3) ) 的关系。

解法：
由于 ( f(x) ) 单调递增，且 ( 1 < 2 < 3 )，( f(1) < f(2) < f(3) )，即 ( f(1) < 3 < f(3) )。

单调性与参数的讨论

方法：
根据参数的不同取值，讨论函数的单调性。

例题：
已知函数 ( f(x) = x^2 + 2mx + 1 )，若 ( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上单调递增，求 ( m ) 的取值范围。

解法：

求导：( f'(x) = 2x + 2m )。
若函数在 ( \mathbb{R} ) 上单调递增，则 ( f'(x) \geq 0 ) 对所有 ( x ) 成立。
即 ( 2x + 2m \geq 0 ) 对所有 ( x ) 成立，这要求 ( m ) 满足 ( 2m \geq -2x ) 对所有 ( x ) 成立，即 ( m \geq -x ) 对所有 ( x ) 成立。
因为 ( -x ) 可以取到任意大的负数，( m ) 必须满足 ( m \geq +\infty )，但这是不可能的。
重新思考：( f'(x) = 2x + 2m ) 是线性函数，其最小值在 ( x \to -\infty ) 时趋于 ( -\infty )，因此不存在 ( m ) 使得 ( f'(x) \geq 0 ) 对所有 ( x ) 成立。
不存在 ( m ) 使得 ( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上单调递增。